Question

已知：关于x的方程mx²-14x-7=0有两个实数根x₁，x₂，和关于y的方程y²-2（n+1）y+n²+2n=0有两个实数根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4
①用含m的代数式；
②用含n的代数式表示2（2y₁-y₂²）+14，并求n的取值范围；
③当=2（2y₁-y₂²）+14时，求m的取值范围．

Answer

①先找出方程mx2-14x-7=0中的a，b及c的值，利用根与系数关系求出两根之和与两根之积，代入所求的代数式中化简可得；
②利用因式分解的方法求出方程y2-2（n+1）y+n2+2n=0的两解，根据两解y1与y2的范围，确定出y1与y2的值，代入所求的代数式可用n表示出来，且根据y1与y2的范围列出不等式，可得n的范围；
③由方程mx2-14x-7=0有解，可得根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集可得m的范围；再由第一问和第二问所表示出式子代入所求的等式中，化简可得m与n的二次函数关系式，由自变量n的范围，根据二次函数的图象可得函数值m的范围，求出两个m范围的公共部分可得满足题意m的范围．
【解析】
①∵mx2-14x-7=0，
∴a=m，b=-14，c=-7，
∴x1+x2=-=，x1x2=-，
则=+=m；

②∵方程y2-2（n+1）y+n2+2n=0有两个实数根，则△=4（n+1）2-4（n2+2n）=4＞0，
分解因式得，[y-（n+2）]（y-n）=0，
∴y1=n，y2=n+2，
∴2（2y1-y22）+14=2[2n-（n+2）2]+14=-2n2-4n+6，
∵-2≤y1＜y2≤4，
∴-2≤n＜n+2≤4，
解得：-2≤n≤2；

③∵方程mx2-14x-7=0有两个实数根，则△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，（i）
∵x1+x2=，x1x2=-，
由①得y1=n-2，y2=n，
所以=2（2y1-y22）+14变形为+=2[2n-（n+2）2]+14，
化简得，m=-2n2-4n+6．
画出m关于n的二次函数图象，如图所示：
由二次函数的图象知，
当-2≤n≤2时，-10≤m≤8，（ii）
由（i）和（ii）得：-7≤m≤8且m≠0．