Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC上的中点，连接DE、AF交于G点，连接CG，若CG=4cm，求正方形ABCD的面积．

Answer

首先延长CG，设与AB相交于点H，通过推出△ADE≌△BAF，可以得到AF垂直于DE；然后利用射影定理和勾股定理得到EG：DG=1：4，再利用△HEG∽△CDG，得到HG：CG=EG：DG=1：4，所以CH=5，HG=1，且H为AE中点，然后，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，推出AE的长度，既而推出AB的长度，即可推出正方形ABCD面积．
【解析】
延长CG，设与AB相交于点H，
∵正方形ABCD，E、F分别为AB，BC的终点，
∴BF=AE，∠DAE=∠ABF=90°，AB=AD，
∴在△DAF和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠FAB=∠EDA，
∵∠FAB+∠DAG=90°，
∴∠EDA+∠DAG=90°，
∴AF⊥DE，
∴△AEG∽△DAG∽△DEA，
∵AE：AD=1：2，
∴EG：DG=1：4，
∵AB∥CD，
∴△HEG∽△CDG，
∴HE：DE=HG：CG=EG：DG=1：4，
∵CG=4，
∴HG=1，HC=5，
∵CD=AB=2AE，
∴HE：AE=1：2，
∴H为AE的中点，
∴在Rt△AGE中，HG=，
∵HG=1，
∴AE=2，
∴AB=4，
∴S正方形ABCD=4×4=16cm2．