Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与双曲线y=-交于点A，且A点的横坐标是-2．
（1）求k的值；
（2）将直线y=kx沿y轴正方向平移10个单位，分别交x、y轴于B、C两点，D点在直线BC上，试问：在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以O、B、P、D为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据直线y=kx与双曲线y=-交于点A，且A点的横坐标是-2，即可得出xy=-8，进而求出A点的纵坐标即可得出k的值；
（2）利用两直线倾斜度相同得出==2，进而求出即可．
【解析】
（1）∵直线y=kx与双曲线y=-交于点A，且A点的横坐标是-2．
xy=-8，
∴A点的纵坐标是4，
∴y=kx，
4=-2k，
∴k=-2；

（2）∵将直线y=kx沿y轴正方向平移10个单位，分别交x、y轴于B、C两点，D点在直线BC上，
过点D作DM⊥x轴，
∴平移后解析式为：y=-2x+10，
∴==2，
假设存在点P的坐标，
∴BD=BO=PD=PO=5，
∴假设DM=2a，BM=a，
4a2+a2=25，
∴a=，
∴D点坐标为：（5-，2），
P点坐标为：（-，2）．
分类一：OB为边，取BD=OB=5，
则D点应该是以点B为圆心，以OB=5为半径，则x轴上方有一个点D1，下方还有一个点D2，
在BC上取点D3，使OD=OB=5，取法：以O为圆心以OB=5为半径，交直线BC与D3点；
分类二，OB为对角线，此时DP垂直平分OB，DP与直线BC的交点为点D4．
可以设D（m，-2m+10）求出m，先得到D点坐标，再求点P的坐标．
故P点的坐标为：p1（-，2）．p2（，-2，）p3（8，4），p4（，-5）．