Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=4cm．动点P从点A出发，沿A→D→C的路线以2cm/s的速度向点C运动；动点Q从点C出发，沿C→B的路线以1cm/s的速度向点B运动．若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，PQ与DC平行？
（2）在整个运动过程中，设△PBQ的面积为S（cm²），求S（cm²）与t（s）之间的函数关系式；
（3）当点P运动到DC上时，以P为圆心、PD长为半径作⊙P，以B为圆心、BQ长为半径作⊙B，问：是否存在这样的t，使得⊙P与⊙B相切？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意得：PA=2t，PD=2-2t，CQ=t，利用当DP=CQ时，PD与CQ平行，求出即可；
（2）根据当0＜t≤1时，以及当1＜t＜5时，分别求出三角形的底边与高线从而求出即可；
（3）当两圆外切时，以及当两圆内切时，分别求出即可．
【解析】
（1）由题意得：PA=2t，PD=2-2t，CQ=t，
∵AD∥BC，
∴当DP=CQ时，PQ与CD平行，
即2-2t=t，
∴t=时，PQ∥CD；

（2）作P1E⊥BC，DH⊥BC，
当0＜t≤1时，
S=AB×BQ，
=×4×（BC-QC），
=×4×（6-t），
=-2t+12，
∵AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=4cm．
∴CH=6-2=4，
∴CD==8；
∵P1E⊥BC，DH⊥BC，
∴P1E∥DE，
∴=，
∴=，
∴P1E=5-t，
BQ=6-t，
当1＜t＜5时，
S=BQ×P1E=t2-t+15．

（3）当两圆内切时，连接BP，BP必经过切点M，
DP=2t-2，CP=8-（2t-2）=10-2t，BM=BQ=6-t，
∵=，
∴=，
∴CH=5-t，
∴PH=5-t，
∴BH=6-（5-t）=1+t，
∴BP=MP-MB=DP-MB=2t-2-（6-t）=3t-8，
∴BP2=PH2+BH2，
∴（3t-8）2=（5-t）2+（1+t）2，
解得t=或t=（不合题意舍去），
当两圆外切时，过P1作P1M⊥AB，
∴BR+P1R=BQ+DP1=6-t+2t-2=t+4，BM=5-t，P1M=t+1，
则有BP12=P1M2+BM2，即（4+t）2=（5-t）2+（t+1）2，
整理得：t2-12t+20=0，
解得：t=2或t=10（舍去），
∴当t=2时，⊙P与⊙B外切，当t=时，⊙P与⊙B内切．