Question

如图1中的△ABC是直角三角形，∠C=90°．现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合条件的矩形可以画出两个，如图2所示：

（1）设图2中的矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S₁和S₂，则S₁______S₂（填“＞”，“=”，“＜”）
（2）如图3中的△ABC是锐角三角形，且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么
符合要求的矩形可以画出______个，并在图3中把符合要求的矩形画出来．
（3）在图3中所画出的矩形中，它们的面积之间具有怎样的关系？并说明你的理由；
（4）猜想图3中所画的矩形的周长之间的大小关系，不必证明．

Answer

（1）容易看出矩形ACBD的面积是△ABC面积的2倍，而矩形AEFB与△ABC的底与高相同，则也是△ABC面积的2倍；
（2）分别以ABC三点中的两点为矩形的端点，由3种情况；
（3）由（1）得它们的面积相等；
（4）由图说明：以AB为边的矩形的周长最短，以BC为边的矩形的周长最长．
【解析】
（1）=；
（2）3，
符合要求的矩形如图4所示．
（3）图4中画出的矩形BCED、矩形ABFG和矩形AHIC的面积相等．
理由：这三个矩形的面积都等于△ABC面积的2倍．
（4）∵BC＞AC＞AB，
∴以AB为边的矩形的周长最短，以BC为边的矩形的周长最长．