Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，试把AM用含x的代数式表示出来；
（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．

Answer

（1）根据线段的垂直平分线推出BM=ME，根据勾股定理求出即可．
（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，根据勾股定理得到AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2，代入求出即可．
【解析】
（1）连接ME．
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BM=ME=6-AM，
在△AME中，∠A=90°，
由勾股定理得：AM2+AE2=ME2，
AM2+x2=（6-AM）2，
AM=3-x．

（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6-b，
因MN垂直平分BE，
则ME=MB=6-a，NE=NB，
所以由勾股定理得
AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2
即a2+x2=（6-a）2，b2+（4-x）2=42+（6-b）2，
解得a=3-x2，b=x2+x+3，
所以四边形ADNM的面积为S=×（a+b）×4=2x+12，
即S关于x的函数关系为S=2x+12（0＜x＜2），
答：S关于x的函数关系式是S=2x+12．