Question

在平面直角坐标系中，已知双曲线，动点C、D同时从原点出发，分别沿x轴、y轴正方向运动，运动速度为每秒1个单位长．
（1）经过几秒钟，直线CD与双曲线有一个公共点？
（2）设直线CD与双曲线相交时，交点为A、B．当△AOB面积等于时，求动点C、D两点所经过的时间t．

Answer

（1）利用已知首先求出一次函数CD的解析式，再将两函数联立，根据一元二次方程根的判别式求出即可；
（2）首先设A（x1，y1），B（x2，y2），得出x1＜x2，x1+x2=t，x1x2=12，再利用S△ABO=S△ODB-S△ODA，求出t即可．
【解析】
（1）∵动点C、D同时从原点出发，分别沿x轴、y轴正方向运动，运动速度为每秒1个单位长．
∴假设经过t秒时，直线CD与双曲线有一个公共点，
∴C点的坐标为：（t，0），D点的坐标为：（0，t），
∴假设CD所在直线解析式为：y=kx+b，将C，D代入解析式即可；
∴，
解得：，
∴y=-x+t，
将两解析式联立，-x+t=，
整理得：x2-tx+12=0，
∵直线CD与双曲线有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=t2-48=0，
解得：t=4或-4（不合题意舍去）．
∴经过4秒钟，直线CD与双曲线有一个公共点；

（2）如图：设A（x1，y1），B（x2，y2），
显然x1＜x2，x1+x2=t，x1x2=12，
S△ABO=S△ODB-S△ODA=t（x2-x1）=t=t，
∵S△ABO=，
∴=t，
整理得：（t2）2-48t2-49=0，
解得：t2=49或-1（不合题意舍去），
∵t≥0，
∴t=7．