Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动：动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时问为t秒．
（1）NC=______，MC=______．（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）若△PMC为等腰三角形，求t的值．

Answer

（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；
（2）四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：
①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．
②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．
综上所述可得出符合条件的t的值．
【解析】
（1）∵AQ=3-t
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM==，CM=．

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t
解得t=2．

（3）①当MP=MC时（如图）
则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t）
解得：t=
②当CM=CP时（如图）
则有：
 （1+t）=4-t
解得：t=
③当PM=PC时（如图）
在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2
而MN=NC=（1+t），PN=PC-NC=（4-t）-（1+t）=3-2t，
∴[（1+t）]2+（3-2t）2=（4-t）2，
解得：t1=，t2=-1（舍去）
∴当t=，t=，t=时，△PMC为等腰三角形．