Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0）将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△DEB．以A为顶点的抛物线经过点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在Y轴右侧抛物线上是否存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△DEB的外心为M，将抛物线沿X轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，直接写出M在抛物线内部（指抛物线与X轴所围成的部分）时t的取值范围．

Answer

（1）根据已知得出E点坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据梯形的判定求出当DE∥PB时，即P点在X轴上，即y=0，求出P点坐标即可；
（3）根据直角三角形外心的性质得出，M点是BD中点，进而得出M点坐标，当图象向右平移t秒时，即二次函数对称轴为x=t，图象过M点，求出t的值即可，进而得出t的取值范围．
【解析】
（1）∵A（0，2），B（1，0）将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△DEB，
∴E点坐标为：（1，1），
∴A为顶点的抛物线经过点E的抛物线解析式为：y=ax2+c，
∴，
∴．
∴y=-x2+2；

（2）当DE∥PB时，即P点在X轴上，
∴0=-x2+2，
解得：x=±，
∴PO=，
∵AO=2，
∴DE=2，
∴PO≠DE，
∴四边形EPOD是梯形，
∴在Y轴右侧抛物线上存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形，
∴点P的坐标为：（-，0）；

（3）如图所示：当△DEB的外心为M，将抛物线沿X轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，
∴M在抛物线内部（指抛物线与X轴所围成的部分）时t的取值范围是：2-＜t＜2+．