Question

已知抛物线y=x²+（2a-1）x+a²+3a+与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求实数a的取值范围；
（2）令S=x₁²+x₂²，求S的取值范围．

Answer

（1）根据题意得出抛物线和x轴有两个交点，即b2-4ac＞0，从而得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2，与x1•x2，再由完全平方公式的变形即可得出S的取值范围．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+（2a-1）x+a2+3a+与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）．
∴b2-4ac＞0，
即（2a-1）2-4（a2+3a+）＞0，
解得a＜-1．

（2）设方程x2+（2a-1）x+a2+3a+=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=1-2a，x1•x2=a2+3a+，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=（1-2a）2-2（a2+3a+）=2（a-）2-20，
∵a＜-1，
∴（a-）2＞，
∴2（a-）2-20＞，
即S＞．