Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=9cm，DC=13cm，点P是线段AB上一个动点，设BP为xcm，△PCD的面积为ycm²．
（1）求AD的长；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过D作BC的垂线，垂足为E，则四边形ABED是矩形，在Rt△CDE中，由勾股定理可求EC的值，进而可求AD的长；
（2）根据面积公式可求y=S梯形ABCD-S△ADP-S△BCP，代值化简得y=-x+54（0≤x≤12），
可求当xmin=0时，ymax=54．
（3）有两种情况：可先证当∠DPC=90°，△PCD为直角三角形时，使得△PAD∽△PBC，代值求得AP=6．或当②∠PDC=90°时，由勾股定理可求x=．
【解析】
（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=12，
AD=BE，
在Rt△DEC中，EC==5，
∴AD=BC-EC=4．

（2）y=S梯形ABCD-S△ADP-S△BCP
=（4+9）×12-×4×（12-x）-×9x，
∴y=-x+54（0≤x≤12）
∵y随x的增大而减小，
∴当xmin=0时，ymax=54．

（3）分两种情况：
①若∠DPC=90°，△PCD为直角三角形，只需∠1+∠2=90°，
即∠1=∠3，
只需△ADP∽△BPC，
只需=，
即=，
解得x1=x2=6，此时AP=BP．
∴存在AB中点P，使△PCD为直角三角形．

②∠PDC=90°，则有PD2+DC2=PC2
42+（12-x）2+132=x2+92
解得x=．
综上，当x=6或时，△PDC为直角三角形．