Question

已知一个边长为a的正方形内部可以放置五个半径为1的圆（圆可以与正方形的边相切），使得任意两个圆至多只有一个公共点，求a的最小值．

Answer

根据半径为a的正方形内部放置了五个半径为1的圆，可以求得正方形的对角线的长，据此可以求得a的最小值．
【解析】
如图所示，当正方形内的五个圆按图中的方式放置时，

正方形的边长a=2+2，它表明当正方形的边长为 2+2时，
放置正方形内部的五个半径为1的圆可以满足任意两个圆至多只有一个公共点．（6分）
另一方面，在边长为a 的正方形ABCD中不重叠地放置五个半径为1 的圆O1、O2、O3、O4、O5，
则O1、O2、O3、O4、O5一定都落在与ABCD各边距离都为1的且在ABCD内部的正方形EFHG的边界或内部，（10分）
将正方形EFHG分割成四个全等的正方形区域1、2、3、4，
则O1、O2、O3、O4、O5中必有两点落在同一区域中，（16分）
由于每两点间的距离不小于2，
则小正方形区域对角线长，
即a，
所以，a的最小值是2+2．（20分）