Question

如图，已知在半径为2的⊙O中有一点E，过点E的弦AB与CD互相垂直，且OE=1，则AB²+CD²的值等于    ．

Answer

作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM2=DO2-DM2=4-、ON2=OA2-AN2=4-，所以OM2+ON2=4-+4-=1，由此解得AB2+CD2=28．
【解析】
连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM2+ME2=OE2（勾股定理），
又∵ME2=ON2
∴OM2+ON2=OE2；
∵OM2=DO2-DM2=4-；
又∵ON2=OA2-AN2=4-，
∴OM2+ON2=4-+4-=1，
∴AB2+CD2=28；
故答案是：28．