Question

如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．点P从点B以1cm/s的速度向点C运动，点Q从点C以2cm/s的速度向点A运动，两点同时出发，运动的时间为t秒（0≤t≤5）．过点Q作直线QD∥BC，交AB于点D，连接PD、PQ．
（1）用含有t的代数式表示DQ的长；
（2）是否存在某一时刻t，使得△DPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）以线段PC为直径作⊙O．
①在运动过程中，求当动点Q在⊙O内部时t的取值范围；
②连接OD，交线段PQ于点E，求点E恰好落在⊙O上时t的值．

Answer

（1）因为QD∥BC，所以可以利用△ADQ∽△ABC的线段比例关系表示出DQ的长．
（2）利用三角形相似求出DB，DP的长，利用勾股定理建立等量关系求出其解．
（3）利用三角形相似求出PQ的长，在直角三角形PQC中利用勾股定理建立等量关系求出t的值以及在△BOD中利用勾股定理建立关系求出其解．
【解析】
（1）当运动t秒时，QC=2t
在Rt△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，
由勾股定理得：AC2=82+62
解得AC=10cm
∴AQ=10-2t
∵QD∥BC
∴△ADQ∽△ABC
∴
∴
∴DQ=；

（2）作QE⊥BC于E
可得△CQE∽△CAB
∴
∴
∴QE=
∴
∵△DPQ为直角三角形即，∠DPQ=90°或∠DQP=90°，
当∠DPQ=90°时，
∴∠PDQ+PQD=90°
∵∠PDB+∠PDQ=90°
∴∠PQD=∠PDB
∴△PDB∽△DQP
∴
∴
∴DP2=
在Rt△BPD中，由勾股定理得
BP2+BD2=DP2
∴
解得：t1=，t2=0（舍去）；
当∠DQP=90°时，P与E重合，
设运动的时间是t，则BE=t，CE=6-t，
CQ=2t，
∵△CQE∽△CAB，
∴=，解得：t=，
综上，t=或；

（3）①当运动t秒后⊙O与AC相交于Q点，
∴∠PQC=90°
∴△PQC∽△ABC
∴
∴
∴PQ=由勾股定理得；

∴
∴当0＜t＜时，点Q在⊙O内部．

②当线段DO交PQ于点E且点E恰好落在⊙O上时．
△DQE∽△OPE
∴
∴
∴
∴
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
BD2+BO2=DO2
∴
解得：．
∴当线段DO交PQ于点E且点E恰好落在⊙O上时，t=．