Question

已知三角形三边长分别为5，12，13．它的内切圆面积为    ．

Answer

根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，连接OD、OF，设圆O的半径是r，G根据三角形的内切圆得到CD=CF，AE=AD，BE=BF，OD=OF，∠ODC=∠C=∠OFC=90°，证正方形ODCF得出CD=CF=OD，即可推出AC-OD+BC-OD=AB，代入求出半径即可．
【解析】
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OD、OF，
设圆O的半径是r，
∵圆O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴CD=CF，AE=AD，BE=BF，OD=OF，∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是正方形，
∴OD=OF=CF=CD=r，
∴AC-OD+BC-OD=AB，
5-r+12-r=13，
r=2，
∴它的内切圆面积为π×22=4π．
故答案为：4π．