Question

如图，∠AOB=60°，M，N是OB上的点，OM=4，MN=．
（1）设⊙O过点M、N，C、D分别是MN同侧的圆上点和圆外点．求证：∠MCN＞∠MDN；
（2）若P是OA上的动点，求∠MPN的最大值．

Answer

（1）根据同弧所对的圆周角相等，以及三角形的外角大于不相邻的内角，即可证得；
（2）利用圆周角定理得出设过M、N作圆F与OA相切于点Q，求出∠MQN即为所求角．
（1）证明：当C在MD上或在MC上时，如图，
显然∠MCN＞∠MDN（三角形的外角大于不相邻的内角），
当C不在MD上或在MC上时，如图，
设MD与圆交于E点，连接NE，
则∠MEN=∠MCN（同弧上的圆周角相等），
而∠MEN＞∠MDN，
∴∠MCN＞∠MDN；

（2）【解析】
设过M、N作圆F与OA相切于点Q，
由（1）知：∠MQN即为所求角，
作MN的垂直平分线分别交OA、OB于G、H，
则圆心F在GH上，
设FQ=FM=r，
∵∠AOB=60°，∠OHG=90°，
∴∠OGH=30°，
∴FG=2r，HF==，
则GH=，
解得r=，
则∠MQN=∠MFN=30°，
∴∠MPN的最大值为30°．