Question

已知函数y=x²+2x-1（t≤x≤t+1）
（1）若此函数的最小值为M，求M关于t的函数表达式；
（2）当t为某一正整数n时，求函数值y可以取得的所有正整数的和．

Answer

（1）首先将抛物线y=x2+2x-1配方成y=（x+1）2-2的形式，进而可以确定对称轴为x=-1，据此可以求出其最小值．
（2）根据上题得到的对称轴x=-1，然后结合图象得n2+2n-1≤y≤n2+4n+2并从中得到y可以取得的正整数为n2+2n-1，n2+2n，n2+2n+1，…n2+4n+2．共2n+4个，然后求得y可以取得的所有正整数的和即可．
【解析】
（1）∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2，对称轴为x=-1．
∴最小值为M=；

（2）由（1）对称轴x=-1，
∴得n2+2n-1≤y≤n2+4n+2
∴y可以取得的正整数为n2+2n-1，n2+2n，n2+2n+1，…n2+4n+2．共2n+4个
∴y可以取得的所有正整数的和为
=2n3+10n2+13n+2（10分）