Question

如图：直角梯形ABCD中，AD∥CB，∠DCB=90°，AD＜CB，E为CD上一点，∠ABE=45°，AE=10，BC=CD=12，则CE=    ．

Answer

过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BMG，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度．
【解析】
过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG=CE，连接BG，
∴∠AMB=90°，
∵AD∥CB，∠DCB=90°，
∴∠D=90°，
∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∵BC=CD，
∴四边形BCDM是正方形，
∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，
∴Rt△BEC≌Rt△BMG．
∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，
∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°
∴∠CBE+∠ABM=45°
∴∠ABM+∠GBM=45°
∴∠ABE=∠ABG=45°，
∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．
设CE=x，则AM=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∴100=（x+2）2+（12-x）2，
即x2-10x+24=0；
解得：x1=4，x2=6．
故CE的长为4或6