Question

方程x³+（1-3a）x²+2a²x-2ax+x+a²-a=0有且只有一个根．求a的取值范围．

Answer

首先把方程分解因式变为（x-a）[x2-（2a-1）x-（a-1）]=0，由于方程x3+（1-3a）x2+2a2x-2ax+x+a2-a=0有且只有一个根，由此利用判别式即可求出a的取值范围．
【解析】
∵x3+（1-3a）x2+2ax-2ax+x+a2-a=0，
∴x3-3ax2+2a2x+x2-（2a-1）x+a2-a=0，
∴x（x-a）（x-2a）+（x-a）[x-（a-1）]=0，
∴（x-a）[x2-（2a-1）x-（a-1）]=0，
∵方程x3+（1-3a）x2+2a2x-2ax+x+a2-a=0有且只有一个根，
∴x2-（2a-1）x-（a-1）=0无解，
∴△=（2a-1）2+4（a-1）＜0，
∴4a2-3＜0，
∴-＜a＜．