Question

已知一次函数y=kx+m，二次函数y=2ax²+2bx+c和y=ax²+bx+c-1的图象分别为l、E₁、E₂，l交E₁于B、C两点，且满足下列条件：
I）b为整数．
II）B（2-2，3-2），C（2+2，3+2）．
Ⅲ）两个二次函数的最小值差为1．
（1）如l与E₂交于A、D两点，求|AD|值．
（2）问是否存在一点P，从P出发作一射线分别交E₁、E₂于P₁，P₂，使得PP₁：PP₂为常数，并简述你的理由．

Answer

（1）把B、C点的坐标代入一次函数y=kx+m，得到m值，B、C坐标可知xb和xc之间的距离4，A，D是E2与l的交点，同理求得，x+m=ax2+bx+c-1，从而求得AD距离．
（2）由于l、E1经过点A，求得点P1，由点D过E2得到点P2，找到了两点即找到了，从而得到点P的存在．
【解析】
（1）把B、C点的坐标代入一次函数y=kx+m，
解得：k=1，m=1
∵B、C在E1上，将B、C坐标代入其二次函数，
∴3-2=2a（2-2）2+2b（2-2）+c
3+2=2a（2+2）2+2b（2+2）+c
经化简得：8a+2b=1①
将E1，E2的函数是化简
y1=
所以y1最小值=
y2=
所以y2最小值：c-1-
根据两个二次函数的最小差值为1
|c--（c-1-）|=1
化简得到|1-|=1
再化简绝对值得到b=0（其中能够得出b2+2b-1=0，但是，要求b为整数，所以，此式舍去）
再根据上面我写的①式，得到a=根据B、C坐标可知xb和xc之间的距离为4应有
|xb-xc|=4根号2即（xb-xc）2=32②
因为y=x+m（之前得出了k=1），
y=2ax2+2bx+c的交点位B、C
有x+m=2ax2+2bx+c整理得2ax2+（2b-1）x+c-m=0
则xb+xc=4   ③
xb×xc=4（c-m）④
②③④整理化简得到m-c=1⑤
A，D是E2与l的交点，所以，x+m=ax2+bx+c-1
再根据④式，化简整理得到ax2+（b-1）x-2=0
所以，xa+xd=（1-b）/a，xa×xd=-
所以，（xa-xd）2=-4
所以，得到|xa-xd|=8，
即|AD|=8；

（2）存在，
当m=k＞0时，=x+m，
得x1=0，x2=3m+4＞0．
∴点A（0，m）．
显然，经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P1（3m，m）．
又∵由题意，点P2只能有一解，
再结合抛物线的对称性，可知点P2只能重合于点D．
设DE与AP1交于点G，
由DG=AG，即m-（k-）=，
得m=．
∴点P1（8，）、点P2（4，-）．
故存在点P．