Question

如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE--EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE=______，EN=______；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；
（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？

Answer

（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．
（2）△APM的面积与△MNE的面积相等，且两个三角形相似，所以，只有两三角形全等面积就相等，表示出三角形的面积，从而求出t值．
（3）（1）已经求出EN的值，根据EN+PE=AP的值，解出t即可．
（4）是直角三角形有两种情况，K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，在FE上的一点时也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．
【解析】
（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，
∵PE=2，
∴KE=2-1=1，
∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴=，=，
∴MP=，ME=，
∴NE=；
故答案为：1；；

（2）由（1）并结合题意可得，
AP=t，PM=t，ME=2-t，NE=-t，
∴t×t=（2-t）×（-t），
解得，t=；

（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，
由（2）得，-t+2=t，
解得，t=；

（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，
即，0＜t≤2；
②当点k在EF上时，
则KE=t-2，BP=8-t，
∵△BPK∽△PKE，
∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，
∴4+（t-2）2=（8-t）（t-2），
解得，t=3，t=4；
综上，当0＜t≤2或t=3或t=4时，△PKB是直角三角形．