Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x₁，x₂，f（x）=x的两实根为α、β．
（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；
（2）若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）试比较（x₁+1）（x₂+1）与7的大小．

Answer

（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．
（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b，从而求出f（x）解析式．
（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．
【解析】
（1）∵f（x）=x，
∴ax2+4x+b=x，
α=，β=．
∵|α-β|=1，
∴=|a|，
∴a2+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=，x1+x2=-．
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=-+1．
-+1-7=，
∵a＜0，
当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．
当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．
当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．