Question

如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC（ ）

A．不存在
B．存在一点
C．存在二点
D．存在无数点

Answer

存在两个点D，使AB•CD=AC•BC成立，要证明乘积的形式通常可以转化为比例的形式：①，此时需证Rt△ABC∽Rt△ACD，那么过A作MN的垂线，那么垂足即为符合条件的D点；②，此时需证Rt△ABC∽Rt△CBD，则过B作MN的垂线，垂足也符合D点的条件．两者的证明过程一致，都是通过弦切角得出一组对应角相等，再加上一组直角得出三角形相似．
【解析】
存在符合条件的点D，使AB•CD=AC•BC，
证明：①过A作AD⊥MN于D，则AB•CD=AC•BC
证明：∵MN是半圆的切线，且切点为C，
∴∠ACD=∠B，
∵AB为半圆的直径，又AD⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°
∴△ABC∽△ACD，
∴，即AB•CD=AC•BC；
②过B作BD⊥MN于D，则AB•CD=AC•BC，
证明：∵MN是半圆的切线，且切点为C，
∴∠BCD=∠A，
∵AB为半圆的直径，又BD⊥MN，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CBD，
∴，即AB•CD=AC•BC，
因此MN上存在两个点D，使AB•CD=AC•BC．
故选C