Question

已知：直线L：y=kx+b（k≠3），抛物线Q：y=-x²+x+．直线L与y轴交于点M（0，k）．
（1）试证直线L总与抛物线Q有两个交点；
（2）若直线L与抛物线Q的两个交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）到y轴的距离相等，试求L的解析式．

Answer

（1）由直线L：y=kx+b（k≠3）与y轴交于点M（0，k），即可求得B=K，又由若直线L与抛物线Q有交点，可得kx+k=-x2+x+，然后可根据判别式求得△＞0，注意k≠3，则可证得直线L总与抛物线Q有两个交点；
（2）由直线L与抛物线Q的两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2）到y轴的距离相等，即可得x1+x2=0，又由根与系数的关系，可得方程x1+x2=-=0，解此方程组即可求得k的值，继而求得L的解析式．
【解析】
（1）∵直线L：y=kx+b（k≠3）与y轴交于点M（0，k），
∴b=k，
即直线L的解析式为：y=kx+k，
∴直线L与抛物线Q的交点的横坐标相等，即：kx+k=-x2+x+，
整理得：3x2+（4k-6）x+（4k-9）=0，
∴△=（4k-6）2-12（4k-9）=（4k-6）2-12（4k-6）+36=（4k-6-6）2=（4k-12）2，
∵k≠3，
∴4k-12≠0，
∴△＞0，
∴直线L总与抛物线Q有两个交点；

（2）∵直线L与抛物线Q的两个交点A（x1，y1）、B（x2，y2）到y轴的距离相等，
∴x1+x2=0，
∵x1+x2=-=0，
解得：k=，
∴L的解析式为：y=x+．