Question

已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x₁，0）、D（x₂，0）两点，（x₁＜x₂），x₁、x₂是方程x（2x+1）=（x+2）²的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）整理把x（2x+1）=（x+2）2并求出方程的解即可得到点C、D的坐标，根据圆的性质，根据点M是C、D的中点求解即可；
（2）利用勾股定理求出AO的长度，根据切线求出AM⊥PA，再证明△AOM与△POA相似，根据相似三角形对应边成比例列式即可求出PA的长度；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠CAD=90°，然后可以证明△AOC与△DAC相似，所以点D就是所要找的点Q，然后利用待定系数法列式即可求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式．
【解析】
（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2-3x-4=0，
解得x1=-1，x2=4，
∴点C、D的坐标是C（-1，0），D（4，0），
=1.5，
∴点M的坐标是（1.5，0），
故答案为：C（-1，0），D（4，0），（1.5，0）；

（2）如图，连接AM，则AM=2.5，
在Rt△AOM中，AO===2，
∴点A的坐标是（0，2），
∵PA与⊙M相切，
∴AM⊥PA，
∴∠MAO+∠PAO=90°，
又∵∠AMO+∠MAO，
∴∠AMO=∠PAO，
在△AOM与△POA中，，
∴△AOM∽△POA，
∴=，
即=，
解得PA=；

（3）存在．
如图，连接AC、AD，
∴∠CAD=90°，
在△ACO与△DCA中，，
∴△ACO∽△DCA，
∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似，
此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c，
则，
解得，
∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=-x2+x+2．