Question

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式．

Answer

此题较为新颖，特别要注意审题和分析题意，耐心把题读完，知A、B为坐标轴上两点，C、D为函数图象上的两点．
（1）先正确地画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长，注意思维的严密性；
（2）因为ABCD为正方形，所以可作垂线得到全等三角形，利用点D（2，m）的坐标表示出点C的坐标从而求解．
【解析】
（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的边长CD=；
∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
∴设正方形的边长为a，
∴3a=CD=．
∴a=，
∴正方形边长为 ，
∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为 或 ；

（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，
∴△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵m＜2，
∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C点坐标为（2-m，2），
设反比例函数的解析式为：，
∵D（2，m），C（2-m，2）
∴，
∴由②得：k=2m③，
∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m），
∴解得m=1，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=．