Question

先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道，若二次函数y=ax²+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b²-4ac≤0；例如y=x²+2x+1=（x+1）²≥0，则△=b²-4ac=0，y=x²+2x+2=（x+1）²+1＞0，则△=b²-4ac＜0．
（1）求证：（a₁²+a₂²+…+a_n²）•（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥²
（2）若x+2y+3z=6，求x²+y²+z²的最小值；
（3）若2x²+y²+z²=2，求x+y+z的最大值；
（4）指出（2）中x²+y²+z²取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．

Answer

（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22+…+an2）•（b12+b22+…+bn2）≥（a1•b1+a2•b2+…+an•bn）2；
（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；
（3）利用（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2，又由2x2+y2+z2=2，整理求解即可求得答案；
（4）因为当且仅当=…=时等号成立，即可得当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．
【解析】
（1）构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）≥0，
∴△=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，
即：（a12+a22+…+an2）•（b12+b22+…+bn2）≥（a1•b1+a2•b2+…+an•bn）2，
当且仅当=…=时等号成立；

（2）根据（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，
∵x+2y+3z=6，
∴14（x2+y2+z2）≥36，
∴x2+y2+z2≥；
∴若x+2y+3z=6，则x2+y2+z2的最小值为；

（3）根据（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2，
∵2x2+y2+z2=2，
∴（x+y+z）2≤2×=5，
∴-≤x+y+z≤，
∴若2x2+y2+z2=2，则x+y+z的最大值为；

（4）∵当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值，
设x===k，
则x=k，y=2k，z=3k，
∵x+2y+3z=6，
∴k+4k+9k=6，
解得：k=，
∴当x2+y2+z2取最小值时，x=，y=，z=．