Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b-a＞c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；
其中正确的结论有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】
由二次函数的图象开口向下可得a＜0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2-4ac＞0，
把x=1代入y=ax2+bx+c，得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为正，∵对称轴为x=1，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0；故此选项错误；
②∵当x=-1时，ax2+bx+c＜0，
∴a-b+c＜0，
∴-（a-b+c）＞0，
∴b-a＞c；故此选项正确；
③当x=2时，ax2+bx+c＞0，
∴4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=-=1，
即a=-，代入得9（-）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正确．
②③④⑤正确．
故选B．