Question

如图，反比例函数y=的图象与二次函数y=-x²+bx+c的图象在第一象限内相交A、B两点，A、B两点的纵坐标分别为1，3，且AB=2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer

（1）设出A、B两点的坐标，根据两点都在反比例函数的图象上，可找出两坐标之间的关系，由AB两点之间的距离可求出K的值，从而求出其解析式；
（2）根据（1）中所求A，B两点的坐标，分别代入二次函数的解析式即可求出b、c的值，从而求出二次函数的解析式；
（3）设出M，N两点的坐标，由A，B两点的坐标可求出过A，B两点直线的解析式，根据其解析式可设出过M，N两点的直线解析式，找出两点坐标与的关系，再根据平行四边形的性质即可求出未知数的值从而求出其解析式．
（1）【解析】
∵A、B两点都在反比例函数y=的图象上，两点的纵坐标分别为1，3，
故可设A（x1，1）B（x2，3），分别代入反比例函数的解析式为k=x1，k=3x2，
解得x1=3x2，
由AB=2，
可得（x1-x2）2+（1-3）2=（2）2，x2=±2，
因为函数图象在第一象限，
故x2=2，k=3x2=6，
∴该反比例函数的解析式为：
y=；（3分）

（2）由（1）可知，A（6，1），B（2，3），代入二次函数的解析式，
得，
解得，
故此二次函数的解析式为：y=-x2+x-8；（2分）

（3）【解析】
设M（x，0），N（0，y），过A、B两点的直线解析式为y=kx+b，
把A、B两点坐标代入得，
解得k=-．
则设经过M、N两点的直线解析式为y=-x+b，
把M（x，0），N（0，y）代入得y=b，x=2b，
∵MN=AB，即x2+y2=（2）2，即b2=4，b=±2，
故过M，N两点的直线解析式为：y=-x+2或y=-x-2．（4分）