Question

如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD²=AC•AE．

Answer

（1）根据圆周角定理及平行线的性质不难求解；
（2）由（1）可得∠ADB=∠E，又因为∠BAD为公共角，且AB=AC，易得△ABD∽△ADE，利用相似三角形的性质即可得证．
证明：（1）在△ABC中，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）由（1）得∠ADB=∠E，
且∠ADB=∠C，
即可得出AB=AC，
又因为∠BAD为公共角，且AB=AC，
易得△ABD∽△ADE，
即有AB：AD=AD：AE，
即有AD2=AB•AE=AC•AE．
即证．