Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=3AD，CD=4AD，E、F为两腰的中点，下面给出四个结论：
①∠BCD=60°           ②∠CED=90°
③△ADE∽△EDC        ④
其中正确的有    （要求：把正确结论的序号都填上）．

Answer

为了解题方便，可以设AD为a，根据条件可知EF为中位线，所以EF=2a且EF∥AD∥BC，依据平行线的性质可以推出△ADE∽△BEC∽△EDC，依据相似三角形的性质推出ED=2a，结合CD=4d的长度，可以知道∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，根据三角形的内角和180°，推出∠DEC=90°，∠EDF=60°，∠ECF=30°，根据勾股定理，可以求出AE、AB、EF、BC的长度，即可看出④错误．
【解析】
设AD=a，∵BC=3AD，CD=4AD，
∴BC=3a，DC=4a，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E、F为两腰的中点，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，
∴在△DEC中，∠DEC=90°，
∴△ADE∽△BEC∽△EDC，
∴AD：DE=DE：DC，
∴ED=2a，
∴∠ECF=30°，
∴∠BCD=∠EDF=60°，
∵∠DEC=90°、ED=2a、DC=4a，
∴EC=2a，
∴EB=AE=a，
∴AB=2a，
∵EF=2a，BC=3a，
∴第④项错误．
故答案为：①②③．