Question

如图，△ABC中，∠CAB与∠CBA均为锐角，分别以CA、CB为边向△ABC外侧作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD₁⊥直线AB于D₁，FF₁⊥直线AB于F₁．
求证：（Ⅰ）DD₁+FF₁=AB；
（Ⅱ）线段AB的中点N也平分线段D₁F₁．

Answer

（1）过点C作CH⊥AB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD1+EE1=AB即可；
（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，MQ=AB且MQ⊥AB，特殊地，当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明D1A=E1B，所以AB的中点N就是D1E1的中点．
证明：（1）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB；

（2）设M为DF的中点，Q为D1F1的中点，
则：且MQ⊥AB，
当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴AB的中点N就是D1E1的中点．