Question

设一组数据是x₁，x₂，…，x_n，它们的平均数是，方差．
（Ⅰ）证明：方差也可表示为；并且s²≥0，当x₁=x₂=…=x_n=时，方差s²取最小值0；
（Ⅱ）求满足方程的一切实数对（x，y）．

Answer

（1）根据方差的定义的公式展开，进行整理得出命题的正确性；
（2）结合方差s2=[x2+（y-1）2+（x-y）2]-（）2=-（-）2，当且仅当-x=y-1=x-y==-时，求出即可．
【解析】
（1）∵，
=[x12+-2x1+x22+-2+…+xn2+-2xn]，
=（x12+x22+…+xn2）+（++…+）+（-2x1-2-…-2xn]，
=（x12+x22+…+xn2）++（-2x1-2-…-2xn]，
=（x12+x22+…+xn2）+-2（x1+x2+…+xn]，
=（x12+x22+…+xn2）-，
∴；
当x1=x2=…=xn=时，
s2=-=0，
∴此时方差s2取最小值0；

（2）设数据-x，（y-1），x-y的平均数为：
=[（-x）+（y-1）+（x-y）]，
=-，
方差s2=[x2+（y-1）2+（x-y）2]-（）2=-（-）2，
当且仅当-x=y-1=x-y==-时，
s2=0，
此时x=，y=．