Question

已知a是实数，函数y=（a²-1）x+a（-1≤x≤1），若|a|≤1，求证：|y|≤．

Answer

分类讨论：当a=±1，则y=±1，得到：|y|≤；当-1＜a＜1，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，当x=-1，y有最大值，当x=1，y有最小值，分别得到关于a的二次函数，利用二次函数的最值问题可求出最大值为，最小值为-，都满足：|y|≤．
证明：当a=±1，y=±1，则|y|＜；
当-1＜a＜1，
∴a2-1＜0，
∴y=（a2-1）x+a，y随x的增大而减小，而-1≤x≤1，
∴当x=-1，y有最大值，此时y=-a2+a+1=-（a-）2+，
即a=时，y的最大值为，满足|y|≤．
当x=1，y有最小值，此时y=a2+a-1=（a+）2-，
即a=-时，y的最小值为，满足|y|≤．
所以若|a|≤1，有|y|≤．