Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=BC，⊙O为△ABC的外接圆，CD为∠ACB的平分线，CD的延长线交⊙O于N，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，NE的延长线交⊙O于M．
求证：（Ⅰ）MN∥AC；
（Ⅱ）BE=FD．

Answer

（1）根据垂径定理，可得CI=NI，通过求证△ECI≌△ENC，推出∠ECI=∠ENI，结合角平分线的性质，通过等量代换，即可推出∠ENI=∠NCA，即可推出结论，（2）连接BN，MC，过E作MC垂线EG，G为垂足．过F作CN垂线，H为垂足，
，根据（1）所得的结论，推出△AEQ为等腰三角形，再由等腰三角形BAC，MN∥AC，推出，BE=BQ，可得CE平分∠MCN，然后，通过求证四边形EFHI为矩形，结合角平分线上的点的性质，即可得GE=EI=FH，再通过求证△MEG≌△DFH和△BNE≌△MCE，即可推出BE=ME，ME=FD，通过等量代换即得，FD=BE．
证明：（1）如图，设直线OE与CM交于点I，
∵OI⊥NC，
∴CI=NI，
∵在△ECI和△ENI中，
，
∴△ECI≌△ENC（SAS），
∴∠ECI=∠ENI，
∵CN平分∠BCA，
∴∠ECI=∠NCA，
∴∠ENI=∠NCA，
∴MN∥AC，

（2）如图，连接BN，MC，过E作MC垂线EG，G为垂足．过F作CN垂线，H为垂足，
∵EF∥CN，EI⊥NC，
∴IE⊥EF，
∴四边形EFHI为矩形，
∴EI=FH，
∵AB=BC，
∴，
∵MN∥AC，
∴，
∴，BE=BQ，
∴∠BCN=∠MCB，
∴CE平分∠MCN，
∴EG=EI，
∴EG=FH，
∵BCN=ENC，
∴∠MCE=∠ECN=∠ENC，
∵∠GEC=90°-∠MCE，∠NPH=90°-∠MNC，
∴∠GEC=∠NPH，即∠GEC=∠FPQ，
∵BE=BQ，
∴∠BEQ=∠BQE，即，∠MEC=∠BQE，
∵∠MEG=∠MEC-∠GEC，∠DFH=∠BQE-∠FPQ，
∴∠MEG=∠DFH，
∵在△MEG和△DFH中，
，
∴△MEG≌△DFH（AAS），
∴ME=FD，
∵在△BNE和△MCE中，
，
∴△BNE≌△MCE（ASA），
∴BE=ME，
∴BE=FD．