Question

已知△ABC中，AB=，AC=3，D是边AC上一点，且AD：DC=1：2，连接BD．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若sin∠ACB=，试画出符合条件的大致图形，并求BD的长度？

Answer

（1）根据∠BAD=∠CAB，结合线段的比相等证明：△ABD∽△ACB；
（2）画出图象，过A点作BC的垂线，交CB的延长线于E点（或交CB于E），在△ACE中，已知sin∠ACB=，AC=3，可求AE，由勾股定理求CE，在Rt△ABE中，AB=，由勾股定理求BE，根据BC=CE-BE或（BC=CE+BE）求BC，再利用（1）中的相似三角形求BD．
【解析】
（1）由AC=3，AD：DC=1：2，
得AD=1，CD=2，
∵∠BAD=∠CAB，=，==，
∴△ABD∽△ACB；

（2）如图①所示，过A点作BC的垂线，交CB的延长线于E点，
在△ACE中，
∵sin∠ACB==，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE==2，
在Rt△ABE中，AB=，由勾股定理，得BE==，
∴BC=CE-BE=2-=，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴=，即BD==．
如图②所示，过A点作BC的垂线，交CB于E点，
在△ACE中，
∵sin∠ACB==，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE==2，
在Rt△ABE中，AB=，由勾股定理，得BE==，
∴BC=CE+BE=2+=3，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴=，即BD=．