Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=-+bx+c的图象经过点A（4，0）、C（0，2）．
（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2，0）是否在该函数的图象上；
（2）设所求函数图象的对称轴与x轴交于点D，点E在x轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，试求点E的坐标．

Answer

（1）将点A（4，0）、C（0，2）的坐标代入次函数y=-+bx+c，即可求得抛物线的解析式，再将B（-2，0）坐标代入抛物线的解析式即可知道它是否在该函数的图象上；
（2）先求出D 点坐标，再根据题中已知条件便可求出点E的坐标．
【解析】
（1）点A（4，0）、C（0，2）的坐标代入次函数y=-+bx+c；
可得，
解得，
∴二次函数的解析式为y=-+x+2；
将B（-2，0）坐标代入抛物线的解析式y=-+x+2可得-×4+×（-2）+2=0，
点B（-2，0）在该函数的图象上；

（2）抛物线y=-+x+2的对称轴为x=-=1，
∴D点坐标为D（1，0），CD=，
∵点E在x轴上，
设E点坐标为E（x，0），
由题意可知AB=4+2=6，AC=2，BC=2，
①当△ABC∽△CDE时，∴=即=，
解得DE=，
∵D点坐标为（1，0），
∴E点坐标为（-+1，0）．
②当△ABC∽△CED时，=，即=，∴=，
解得，x=，
∴点E的坐标为（，0），（，0）；
③当△ABC∽△DEC时，=，即=，
解得，x=，∴点E的坐标为（，0），（，0）．