Question

在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．
（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；
（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；
（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时cot∠ABC的值；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）由于∠ABQ＜90°，若△ABQ是直角三角形，需要考虑两种情况：
①∠BAQ=90°，此时△BAQ∽△ABO，根据相似三角形所得比例线段，可求出BQ的长，即可得到Q点坐标；
②∠BQA=90°，此时四边形BOAQ是矩形，BQ=OA，由此可求出Q点坐标．
（2）假设P点翻折到AB上时，落点为E，那么∠QAP=∠QAE，QE=QP；由于BQ∥OP，那么∠QAP=∠BQA=∠BAQ，即BQ=BA=5，此时P、Q运动了2.5s，所以AP=AE=，即E是AB的中点；分别过E、Q作BQ、OP的垂线，设垂足为F、H，易求EF=PH=，即可证得△QPH≌△QEF，得∠EQF=∠PQH，由此发现∠EQP=90°，而∠PQA=∠EQA，由此可求得∠AQP的度数．
（3）假设存在这样的平行四边形，可分作两种情况考虑：
①点C在线段PQ上，可延长AC、BQ交于点F，由于DQ∥AC，因此DQ是△BCF的中位线，则FC=2DQ=2AC，过F作FH⊥x轴于H，由于∠BAC=90°，可证得△AOB∽△FHA，通过得到的比例线段，即可求出AF的长，进而可得到AC的长；在Rt△BAC中，已知了AC、BA的长，即可求出∠ABC的正切值；
②点C在PQ的延长线上，设AD、AC与BQ的交点分别为G、F，按照①的思路可证得AD=CQ=2AG，那么在相似三角形△CFQ和△AFG中，FC=2AF，即AC=3AF，AF的长在①中已求得，由此可得到AC的长，进而可求出∠ABC的余切值．
【解析】
（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3），AB=5．
ⅰ）当∠BAQ=90°时，△AOB∽△BAQ，
∴BQ：AB=AB：AO．解得 BQ=；
ⅱ）当∠BQA=90°时，BQ=OA=4，
∴Q （，3）或Q（4，3）．（4分）

（2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处，
则∠EAQ=∠PAQ，∠EQA=∠PQA，AE=AP，QE=QP；
又∵BQ∥OP，
∴∠PAQ=∠BQA，
∴∠EAQ=∠BQA，
即AB=QB=5．
∴AP=BQ=，
∴AE=AP==AB，即点E是AB的中点．
过点E作EF⊥BQ，垂足为点F，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H，
则 EF=，PH=，∴EF=PH．
又∵EQ=PQ，∠EFQ=∠PHQ=90°，
∴△EQF≌△PHQ，
∴∠EQF=∠PQH，从而∠PQE=90°．
∴∠AQP=∠AQE=45°．（8分）

（3）当点C在线段PQ上时，延长BQ与AC的延长线交于点F，
∵AC⊥AB，
∴△AOB∽△FHA．
∴AB：FA=AO：FH，即5：FA=4：3，
∴FA=．
∵DQ∥AC，DQ=AC，且D为BC中点，
∴FC=2DQ=2AC．
∴AC=．
在Rt△BAC中，cot∠ABC=4；
当点C在PQ的延长线上时，记BQ与AC的交点为F，记AD与BQ的交点为G，
∵CQ∥AD，CQ=AD且D为BC中点，
∴AD=CQ=2DG．
∴CQ=2AG
∵BQ∥OP，AD∥PC，
∴AG=PQ，
∴CQ=2PQ．
∴FC=2AF．
∴AC=．
在Rt△BAC中，tan∠ABC=．
即cot∠ABC==（12分）