Question

已知抛物线y=-x²+x，矩形ABCD的两个顶点C、D在抛物线上，两点A、B在x轴正半轴上．
（1）若ABCD为正方形，求它的边长．
（2）是否存在周长为9的这样的矩形？试述理由．

Answer

（1）根据题意，若设A点坐标为（x，0）则B为（4-x，0），D为（x，-x2+），再由ABCD为正方形，其边相等，即可求出x的值，继而求出边长．
（2）求出矩形ABCD的最大周长，发现9＞其最大周长，故不存在这样的矩形．
【解析】
设A（x，0），则B（4-x，0），D（x，-x2+）．（2分）
（1）若ABCD为正方形，则
4-2x=-x2+x（2分）
解得x=1或x=6（舍去）
∴正方形的边长为2．（2分）

（2）矩形周长y=（-x2+x+4-2x）×2
=-x2+x+8．（2分）
则x=时，y有最大值=8，
故周长为9的矩形不存在．（2分）