Question

分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0
（1）有实根；
（2）都是整数根．

Answer

（1）分类讨论：当k=0，方程变为：x-1=0，解得x=1；当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1，则-3k2+6k+1≥0，利用二次函数的图象解此不等式得≤k≤；最后综合得到当≤k≤时，方程有实数根；
（2）分类讨论：当k=0，方程变为：x-1=0，解得方程有整数根为x=1；当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1=-3（k-1）2+4，要使一元二次方程都是整数根，则△必须为完全平方数，得到k=1，2，-，k=1±；然后利用求根公式分别求解即可得到k=1、2、-时方程的解都为整数．
【解析】
（1）当k=0，方程变为：x-1=0，解得x=1；
当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1，
当△≥0，即-3k2+6k+1≥0，方程有两个实数根，解得≤k≤，
∴当≤k≤时，方程有实数根；
（2）当k=0，方程变为：x-1=0，解得方程有整数根为x=1；
当k≠0，△=（k+1）2-4×k×（k-1）=-3k2+6k+1=-3（k-1）2+4，
一元二次方程都是整数根，则△必须为完全平方数，
∴当△=4，则k=1；当△=1，则k=2；当△=时，k=-；当△=0，则k=1±；
而x=，
当k=1，解得x=0或-2；
当k=2，解得x=-或-1；
当k=-，解得x=2或4；
当k=1±，解得x都不为整数，并且k为其它数△为完全平方数时，解得x都不为整数．
∴当k为0、1、-时方程都是整数根．