Question

已知：如图①，正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上，点G在CD上．正方形ABCD的边长为a，矩形DEFG的长DE为b，宽DG为3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点D、E始终在直线l上）．若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S，运动时间记为t秒（0≤t≤m），其中S与t的函数图象如图②所示．矩形DEFG的顶点经运动后的对应点分别记作D′、E′、F′、G′．
（1）根据题目所提供的信息，可求得b=______，a=______，m=______；
（2）连接AG′、CF′，设以AG′和CF′为边的两个正方形的面积之和为y，求当0≤t≤5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值；
（3）如图③，这是在矩形DEFG运动过程中，直线AG′第一次与直线CF′垂直的情形，求此时t的值．并探究：在矩形DEFG继续运动的过程中，直线AG′与直线CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并求出t的值；否则，请说明理由．

Answer

（1）由图②的函数图象知：从第4-5秒，S的值恒为12，即此时矩形全部落在正方形的内部，由此可求得两个条件：①矩形的面积为12，②正方形的边长为1+DE，根据这两个条件求解即可．
（2）当0≤t≤5时，矩形在直线AB的左侧，可用t表示出AD′、PF′的长，易求得D′G、CP的长，即可用勾股定理求得AG′2、CF′2的值，即可得到y、t的函数关系式．
（3）此题要分五种情况讨论：
①当0≤t＜4时，点E′在D点右侧；由于∠HG′F′、∠HF′G′都是锐角，显然直线AG′与CF′不可能平行；当两条直线垂直时，△G′HF′是直角三角形，易证得△AD′G′∽△CPF′，根据相似三角形得到的比例线段即可求得t的值；
②当t=4时，D、E′重合，此时直线DC与E′F′重合，显然此时AG′与CF′既不平行也不垂直，因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行或垂直；
③当4＜t＜5时，矩形在正方形的内部，延长G′F′交BC于P，延长AG′交CD于Q，此时∠CF′P是锐角，所以∠CF′G是钝角，显然AG′与CF′不可能垂直；当两直线平行时，可证得△AD′G′∽△F′PC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得t的值；
④当t=5时，此种情况与②相同；
⑤当5＜t＜9时，此时∠QG′F′与∠CF′G′都是钝角，显然AG′与CF′不可能平行；当两直线垂直时，可延长CF′与AG′相交于点M，延长G′F′与CD相交于点P，通过证△AD′G′∽△CPF′来求得此时t的值．
【解析】
（1）由图②知：从第4到第5秒时，S的值恒为12，此时矩形全部落在正方形的内部，
那么矩形的面积为12，即可求得DE=4；
这个过程持续了1秒，说明正方形的边长为：DE+1=5；
由于矩形的速度恒定，所以5～m也应该用4秒的时间，故m=5+4=9；
即：b=4，a=5，m=9．

（2）如图，当0≤t≤5时，
∵AD′=5-t，D′G=3，PF′=4-t，CP=2，
∴y=9+（5-t）2+4+（4-t）2，
∴y=2（t-）2+，
∴当t=时，y有最小值，y最小值=．

（3）①当0≤t＜4时，分别延长AG′和F′C；
如图，由于∠1和∠2都是锐角，所以∠1+∠2＜180°，
所以AG′与CF′不可能平行．
设AG′与F′C的延长线交于点H，
当∠G′AD′=∠PCF′时，直线AG′⊥CF′；
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴，
∴=，
解得t1=2，t2=7（不合题意，舍去）．

②当t=4时，由于点F′在CD上，而点G′不在直线AD上，
因为AD⊥CD，所以AG′不可能也垂直于CD
（因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直）．
同样，由于AB∥CD，而点G′不在直线AB上，
所以t=4时，AG′也不可能平行于CD（CF′）
（因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）．

③4＜t＜5时，延长G′F′交PC于P，延长AG′交CD于Q，
由于∠CF′P是锐角，所以∠CF′G是钝角，
所以∠CF′G+∠QGF′≠90°，所以AG′与CF′不可能垂直；
当∠G′AD′=∠CF′P时，AG′∥CF′，
易得△AD′G′∽△F′PC，
∴，
∴=，
解得t=4.4．

④当t=5时，AG′与CF′既不可能垂直也不可能平行，理由同②．

⑤当5＜t＜9时，因为∠QG′F′与∠CF′G′都是钝角，
所以∠QG′F′+∠CF′G′＞180°，
所以AG′与CF′不可能平行．
延长CF′与AG′相交于点M，延长G′F′与CD相交于点P；
当∠MG′F′+∠MF′G′=90°时，AG′⊥CF′；
又∵∠AG′D′+∠AG′F′=90°，∠MF′G′=∠CF′P，
∴∠AG′D′=∠CF′P，又∠AD′G′=∠F′PC，
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴，即；
解得：t1=2（不合题意，舍去），t2=7；
所以，综上所述，当t=2或t=7时，直线AG′与直线CF′垂直，当t=4.4时，直线AG′与直线CF′平行．