Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA=OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y=-3x+30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．
（1）求点B坐标；
（2）点P沿折线BC-OC以每秒1个单位的速度运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°-∠AOB时，求t值．（参考数据：在（3）中，取．）

Answer

（1）根据待定系数法求函数的解析式，可以把点B的坐标设出来，利用直线与x轴的交点坐标可以求出A点坐标，求出OA的长度，从而求出AB，根据勾股定理可以求出B点的坐标．
（2）当P、Q在运动中，分为P点在BC、OC上两种情况的面积，利用三角形相似可以用t的式子表示出△PQC的面积．
（3）在运动中当α=90°-∠AOB时，则有PQ⊥OB，PQ⊥OC两种情况，利用解直角三角形的锐角三角函数值三角形相似求出相应的t的值．
【解析】
（1）由题可设点B的坐标为（a，-3a+30），作BG⊥OA于G
在Rt△OBG中，由勾股定理可得：a2+（-3a+30）2=102
解得：a1=10，a2=8
当a=10时，-3a+30=0，（与A点重合，不符合题意舍去）
当a=8时，-3a+30=6
∴B（8，6）；

（2）①当0≤t＜5时，如图1所示；
过点C作CF⊥OB于F，则△OCD≌△OCF．
在Rt△BCF中，由勾股定理可得：CF=3，BC=5
即OF=OD=6，CF=CD．
过点Q作QN⊥BD于N，则QN∥OD，∴△BQN∽△BDO，
∴即∴QN=6-，…1′
∴S=即S=…1′
②当5＜t≤10时，如图2所示；
过点Q作QM⊥OC于M，∵COQ=∠COD，∠CDO=∠QMO=90°，
∴△QMO∽△COD，∴即
∴QM=，…1′
∴S=即S=…1′
（3）①当0≤t＜5时，如图3所示：
∵α=90°-∠AOB=∠BOD，即∠PQB=∠DOB，sin∠PQB=sin∠DOB
∴即
∴t=
②当5＜t≤10时，如图4所示；
过点P作PH⊥OB于H．
∵tan∠POB=，tan∠PQO=，
∴可设PH=4k，QM=3k，则OH=8k，由勾股定理可求得OP=4
∴11k=t，k=，∴OP=4=，
又∵OP=5+3
即5+3=（），
∴．