Question

已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A、C和x轴上的另一点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式，并画出函数图象略图；
（2）在直线AC上求点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）设抛物线的顶点为M，在抛物线上是否存在点Q，使△ABQ的面积等于△AMC面积的8倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据当x=0时，y=4，当y=0时，x=-2，分别求出A，B两点坐标，再代入解析式即可求出；
（2）过B作BP⊥x轴，交直线AC于点P1，则OC∥BP1．△ABP∽△AOC，即可求出P点坐标，再过P2作BP2⊥AC交AC于P2，在Rt△ABP2与Rt△ACO中，求出Rt△ABP2∽Rt△ACO 进而求出P点坐标；
（3）根据S△AMC=S四边形AOCM-S△AOC=S△AFM+S梯形FOCM-S△OCA=，以及S△ABQ=AB•|yQ|=8×，AB=3，|yQ|=8，yQ=±8，即可得出Q点的坐标．
【解析】
（1）由于直线y=2x+4与x轴、y轴相交于A、C两点，
∴当x=0时，y=4．  当y=0时，x=-2．
∴点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，4）．
又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
经过A（-2，O），B（1，O），C（O，4）三点，
抛物线的解析式为：y=-2x2-2x+4．
如图，画出函数图象略图．

（2）（i）由于OC⊥AO，所以过B作BP⊥x轴，交直线AC于点P1，
则OC∥BP1．△ABP∽△AOC．
∵Pl点的横坐标为1，把x=1代入y=2x+4得y=6．
∴P1点的坐标为（1，6）．
（ii）∵△AOC为直角三角形，且AO=2，OC=4，∴AC=2．
过P2作BP2⊥AC交AC于P2，在Rt△ABP2与Rt△ACO中，∠CA0是公共角，
∴Rt△ABP2∽Rt△ACO  =，AP2=
过B点作P2D⊥X轴于D，则Rt△AP2D∽Rt△ABP2．=
∴AD=，OD=OA-AD=，
∴P2点的横坐标为-
把X=-代入y=2x+4得y=．P2点的坐标为（-，）；

（3）存在．
抛物线y=-2x2-2x+4顶点M的坐标为（-，）．
假设在抛物线上存在点Q，使．S△ABQ=8S△AMC．
设Q的坐标为（xQ，yQ），对称轴X=-与x轴交于点F．
则S△AMC=S四边形AOCM-S△AOC=S△AFM+S梯形FOCM-S△OCA=，
S△ABQ=AB•|yQ|=8×，AB=3，|yQ|=8，yQ=±8．
当yQ=8时，-2x2-2x+4=8，即：x2+x+2=O，
∵△=-7＜O，∴此方程无解．
当yQ=-8时，-2x2-2x+4=-8，即：x2+x-6=0，解之得x1=-3，x2=2，
∴O点的坐标为（-3，-8）或（2，-8）．
∴在抛物线上存在点Q1（-3，-8）或Q2（2，-8），
使△ABQ的面积等于△AMC面积的8倍．