Question

如图，已知是AB是⊙O直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PM平分∠CPA，交AC于点M，则∠CMP的度数是（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．不能确定

Answer

连接OC，由OA=OC，根据“等边对等角”得到∠A=∠OCA，又∠COP为△AOC的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得到∠COP=2∠A，由PM为角平分线，得到∠CPO=2∠APM，再由CP为圆O的切线，根据切线性质得到∠OCP=90°，故三角形COP的两锐角之和为90°，等量代换可得∠A+∠APM=45°，观察发现所求的角为三角形APM的外角，根据外角性质即可求出度数．
【解析】
连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，又∠COP为△AOC的外角，
∴∠COP=∠A+∠OCA=2∠A，
∵PM为∠CPO的平分线，
∴∠CPM=∠APM=∠CPO，即∠CPO=2∠APM，
由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∴∠COP+∠CPO=90°，
∴2∠A+2∠APM=2（∠A+∠APM）=90°，
∴∠A+∠APM=45°，
又∵∠CMP为△APM的外角，
∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．
故选B