Question

已知当时，二次函数y=ax²+bx+c取得最值，且函数图象过点A（0，1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）把函数y=ax²+bx+c图象向左平移d个单位后所得函数图象的解析式是y=ax²+x+e，试求e的值；
（3）若函数y=ax²+x+e的图象与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且A点在B点左边，试求2α⁴-α³+α²+3α-5的值．

Answer

（1）由当时，二次函数y=ax2+bx+c取得最值，即可得y=ax2+bx+c=a（x-）2-，又由函数图象过点A（0，1），利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，即可求得a，b，c的值；
（2）由函数y=ax2+bx+c图象向左平移d个单位后所得函数图象的解析式是y=ax2+x+e，即可知平移后，函数图象的顶点是（-d，-），然后可得顶点式，再整理成一般式，根据多项式相等的知识，即可求得e的值；
（3）由函数y=ax2+x+e的图象与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且A点在B点左边，即可得α是方程x2+x-1=0的较小根，继而求得：α2=1-α与α的值，然后化简2α4-α3+α2+3α-5，再代入α的值即可求得答案．
【解析】
（1）∵当x=时，二次函数y=ax2+bx+c取得最值，
∴y=ax2+bx+c=a（x-）2-，
∵图象过点A（0，1）得：a-=1．
∴a=1．…（2分）
∴y=（x-）2-=x2-3x+1，
∴a=1，b=-3，c=1．…（3分）

（2）平移后，函数图象的顶点是（-d，-）．…（4分）
函数式为：y=（x-+d）2-=x2+（2d-3）x+d2-3d+1，
∵函数图象的解析式是y=ax2+x+e，
∴2d-3=1，e=d2-3d+1．…（6分）
解得d=2，e=-1．…（8分）

（3）∴y=ax2+x+e=x2+x-1，
∵函数y=ax2+x+e的图象与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且A点在B点左边，
∴α是方程x2+x-1=0的较小根．
∴α2=1-α，且α=． …（10分）
∴2α4-α3+α2+3α-5=2（1-α）2-α（1-α）+1-α+3α-5
=3a2-3a-2=1-6a=4+3．…（13分）