Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y=x的图象两个交点的横坐标为x₁，x₂，若．
（1）试用a，x₁，x₂表示b，c；
（2）若0＜t＜x₁，当x=t时二次函数的值记为f（t），试证明：t＜f（t）＜x₁．

Answer

（1）将方程ax2+bx+c=x变形为ax2+（b-1）x+c=0，利用根与系数的关系，可以得到b=-ax1-ax2+1，c=ax1x2．
（2）当0＜t＜x1时，分别计算f（t）-t＞0和f（t）-x1＜0就可以证明题目的结论．
【解析】
（1）方程ax2+bx+c=x，即ax2+（b-1）x+c=0，其两根分别是x1，x2，
于是． …（2分）
∴b=-ax1-ax2+1，c=ax1x2．

（2）当0＜t＜x1时，f（t）-t=at2+bt+c-t=at2+（b-1）t+c
=at2-a（x1+x2）t+ax1x2
=a（t-x1）（t-x2）
∵0＜t＜x1，x1＜x2，a＞0，
∴t-x1＜0，t-x2＜0，
∴a（t-x1）（t-x2）＞0．
从而f（t）-t＞0，f（t）＞t．f（t）-x1=at2-bt+c-x1
=a[t2-（x1+x2）t+x1x2]+（t-x1）=a（t-x1）（t-x2）+（t-x1）
=（t-x1）[1-a（x2-t）]
∵0＜t＜x1，，a＞0，
∴
∴（t-x1）[1-a（x2-t）]＜0．
从而f（t）-x1＜0，f（t）＜x1．
故t＜f（t）＜x1．