Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的顶点A（-1，3），∠ACO=90°，点O为坐标原点．将Rt△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△A′OC′．设直线AA′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）求直线AA′的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形PA′C′N成为直角梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）本题需先求出点A′的坐标，再把点A′和A的坐标代入直线的解析式即可求出结果．
（2）本题需先求出点M、N的坐标，再设出抛物线的解析式把点M、N、C的坐标代入即可求出答案．
（3）本题需先画出使四边形PA′C′N成为直角梯形时点P所在的位置，即可求出点P的坐标．
【解析】
（1）∵点A的坐标为（-1，3），
∴点A′的坐标为（3，1），
设直线AA′的解析式为y=kx+b（k≠0）
则
解得
所以直线AA′的解析式为y=-；

（2）∵直线AA′的解析式为y=-
∴点M、N的坐标为（5，0）（0，）
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
则
解得
所以抛物线的解析式为y=．

（3）当点P在P1点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P1点的纵坐标是，
∴P1点的横坐标是4，
∴P1点的坐标是（4，）
当点P在P2点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P2点的横坐标是3，
∴P2点的纵坐标是4，
∴P2点的坐标是（3，4）
∴P点的坐标为（4，）或（3，4）．