Question

如图，在△ABC中，E是AB的中点，AF交BC于F，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D．
（1）求证：四边形BFDE是梯形；
（2）若BC=12，AC=8，求梯形BFDE中位线的长．

Answer

（1）根据题干条件在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，故可知CD是底边AF的中线，进一步得到D是AF边的中点，又知E是AB的中点，故可证出DE是△位ABF的中线，于是证出DE∥BF，BE不平行DF，故可证得四边形BFDE是梯形，
（2）根据在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，即可证得△CAF是等腰三角形，于是得到CA=CF=8，结合题干条件可得BF=4，再根据DE是△ABF的中位线，求出DE=2，最后根据梯形中位线的知识求出梯形中位线的长度．
（1）证明：∵在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，
∴CD是底边AF的中线，
∴AD=DF，
∵E是AB的中点，
∴DE是△位ABF的中线，
∴DE∥BF且DE=BF，
∵BE不平行DF，
∴四边形BFDE是梯形；

（2）【解析】
∵在△ACF中，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，
∴△CAF是等腰三角形，
∴CA=CF=8，
∵BC=12，
∴BF=4，
∵DE是△ABF的中位线，
∴DE=BF=2，
∴梯形BFDE中位线的长=（DE+BF）=3．