Question

已知抛物线y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m，n），且AB=2．
（1）求m、b的值；
（2）如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=．求抛物线所对应的函数关系式．（友情提示：请画图思考）

Answer

（1）由抛物线y=x2+bx+c（其中b＞0，c≠0）与y轴的交点为A，即可求得点A的坐标，又由点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m，n），且AB=2，即可得抛物线的对称轴方程，又由抛物线y=x2+bx+c的对称轴方程为x=-与b＞0，即可求得b与M的值；
（2）由（1）可得：A（0，c），B（-2，c），然后分别从若A在x轴下方与若A在x轴上方去分析，根据勾股定理即可求得c的值，注意抛物线的顶点位于x轴的下方．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c（其中b＞0，c≠0）与y轴的交点为A，
∴点A的坐标为（0，c），
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m，n），且AB=2，
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴方程为：x=±1，
∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴方程为x=-，
∵b＞0，
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴方程为x=-1，
∴b=2，m=-2；

（2）如图：①若A在x轴下方，可得：A（0，c），B（-2，c），
∵BO=，AB=2，
∴OA==4，
∴c=-4，
∴抛物线所对应的函数关系式为：y=x2+2x-4，
②若A在x轴上方，同理可得：c=4，
即抛物线所对应的函数关系式为：y=x2+2x+4，
此时顶点坐标为（-1，3），
∵抛物线的顶点位于x轴的下方，
∴舍去；
∴抛物线所对应的函数关系式为：y=x2+2x-4．