Question

如图，直线y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A和C，和x轴的另一个交点为B．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；
（3）求四边形ABCM的面积S．

Answer

（1）由直线y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，分别令x=0与y=0，即可求得点A和C的坐标，又由二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A和C，利用待定系数法即可求得此二次函数的关系式；
（2）由（1）中的二次函数的关系式，利用配方法即可求得其顶点式，则可求得该抛物线的对称轴及顶点M的坐标．
（3）首先令y=x2-x-4中，y=0，得方程x2-x-4=0，解此方程即可求得点B的坐标，然后过M作x轴的垂线，垂足为D，由S四边形ABCM=S△OBC+S梯形OCDM+S△ADM，即可求得四边形ABCM的面积S的值．
【解析】
（1）∵直线y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=-4，当y=0时，x=3，
∴A（3，0），C（0，-4），
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A和C，
∴，
解得：，
∴该二次函数的关系式为：y=x2-x-4；

（2）∵y=x2-x-4=（x2-2x）-4=（x-1）2-，
∴该抛物线的对称轴为x=1，顶点M的坐标为（1，-）．

（3）令y=x2-x-4中，y=0，得x2-x-4=0，
∴x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴B（-1，0），
过M作x轴的垂线，垂足为D，
S四边形ABCM=S△OBC+S梯形OCDM+S△ADM=×1×4+×（4+）×1+×（3-1）×=12．